Question

8．已知函數y=f（x）在定義域（-$\frac{3}{2}$，3）內可導，其圖象如圖所示．記y=f（x）的導函數為y=f′（x），則不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集為[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等價于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．根據單調性與導數的關系分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等價于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．
由y=f（x）圖象可知f（x）在[-$\frac{1}{3}$，1]、[2，3）內遞減，f′（x）≤0；
f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]、[1，2]內遞增，f′（x）≥0．
故由①可得x∈[2，3]，由②可得x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．
綜上可得，不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集為[2，3]∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]，
故答案為：[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查了導數的正負和原函數增減性的問題，導數的符號決定函數的單調性：導數為正，函數單增；導數為負，函數遞減，屬中檔題．