Question

4．已知圓（x-1）²+y²=R²（R＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有公共點，求圓的半徑R的最小值．

Answer 1

分析 將圓方程和橢圓方程消去y，可得x的二次方程，結(jié)合圖形，當(dāng)圓包含在橢圓內(nèi)，且與橢圓相切時，半徑取得最�。�此時判別式為0，解方程可得圓的半徑的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與圓（x-1）²+y²=R²有公共點，
將圓的方程和橢圓方程相減得：
（x-1）²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=R²-1，
即有4x²-8x+4-x²+4=4R²，
即3x²-8x+8-4R²=0，
當(dāng)圓包含在橢圓內(nèi)，且與橢圓相切時，半徑取得最�。�
可得△=64-48（2-R²）=0，
即有R²=$\frac{2}{3}$，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
則R的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查圓與橢圓有公共點的條件，注意聯(lián)立方程消去一個未知數(shù)，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可得判別式等于0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．