Question

10．函數(shù)y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值為8．

Answer 1

分析 函數(shù)y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A（-2，-1），進而可得2m+n=1，結(jié)合基本不等式可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值．

解答 解：當x=-2時，y=-1恒成立，
故函數(shù)y=-1+log_a（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A（-2，-1），
若點A在直線mx+ny+1=0上，
則2m+n=1，
故$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}$≥4+$2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
即$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值為8，
故答案為：8

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式的應用，難度中檔．