分析 (1)求a=-1時(shí)一元二次不等式f(x)<-5的解集即可;
(2)根據(jù)題意,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),不等式恒成立化為f(t)min>0,t∈[-1,1],得到關(guān)于a的不等式組,求出解集即可.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+3a2,
當(dāng)a=-1時(shí),不等式f(x)<-5化為-x2-2x+3<-5,
即x2+2x-8>0;
由x2+2x-8=0的兩根為x=-4和x=2,
且對(duì)應(yīng)二次函數(shù)開口向上,
所以解不等式得x<-4或x>2,
所以不等式f(x)<-5的解集是{x|x<-4或x>2};
(2)若f(sinx)>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R都成立,
令t=sinx,則t∈[-1,1],
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(t)>0對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[-1,1]都成立
即f(t)min>0,t∈[-1,1];
由二次函數(shù)的性質(zhì)知,關(guān)于t的二次函數(shù)f(x)=-t2+2at+3a2
在[-1,1]上的最小值為f(t)min=min{f(-1),f(1)},
所以$\left\{\begin{array}{l}{f(-1)=-1-2a+{3a}^{2}>0①}\\{f(1)=-1+2a+{3a}^{2}>0②}\end{array}\right.$,
解①得a<-$\frac{1}{3}$,或a>1;
解②得a<-1,或a>$\frac{1}{3}$;
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),一元二次不等式的解法,函數(shù)的最值等知識(shí),也考查了推理論證與運(yùn)算求解能力,其中(1)是容易題,(2)是中檔題.
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