Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求證：面；

（3）求二面角E-AB-C的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直得到線線垂直；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到，由（1）推得面，故，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G．連結(jié)EG，是二面角的一個(gè)平面角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可.

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易知，故面

（1）證明：∵底面，

又，，故面

面，故

（2）證明：，，故

是的中點(diǎn)，故

由（1）知，從而面，故

易知，故面

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G．連結(jié)EG

∵PA⊥AC, ∴PA//EF ∴EF⊥底面且F是AC中點(diǎn)

∴故是二面角的一個(gè)平面角．

設(shè)，則PA=BC=，EF=AF=

從而FG=，故．