Question

3．已知函數(shù)$f（x）=axsinx-\frac{3}{2}（a∈R）$，若對(duì)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$，則
（1）實(shí)數(shù)a的值為1      
 （2）函數(shù)f（x）在（0，4π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 （1）討論a的符號(hào)得出f′（x）的符號(hào)，得出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程解出a；
（2）根據(jù)令g（x）=xsinx，得出g（x）的符號(hào)，估計(jì)g（x）在（0，π）的最大值與$\frac{3}{2}$的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象得出答案．

解答 解：（1）f′（x）=asinx+axcosx=a（sinx+xcosx），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinx+xcosx≥0，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-$\frac{3}{2}$，與f（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$矛盾；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{aπ}{2}-\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，∴a=1．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f_max（x）=f（0）=-$\frac{3}{2}$，與（x）的最大值為$\frac{π-3}{2}$矛盾．
綜上，a=1．
（2）f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$，令f（x）=0得xsinx=$\frac{3}{2}$．
令g（x）=xsinx=0得x=kπ，k∈Z．
∴當(dāng)0＜x＜π或2π＜x＜3π時(shí)，g（x）＞0，
當(dāng)π＜x＜2π或3π＜x＜4π時(shí)，g（x）＜0，
且g（$\frac{5π}{2}$）=$\frac{5π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$$＞\frac{3}{2}$，
作出g（x）=xsinx的大致函數(shù)圖象如圖所示：

∴g（x）=$\frac{3}{2}$有4個(gè)解，即f（x）在（0，4π）上有4解．
故答案為（1）1；（2）4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．