Question

7．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3BC．
（I）求證：AB⊥PD；
（II）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）欲證明AB⊥PD，只需推知AB與平面PD內(nèi)的兩條相交線垂直即可；
（II）在PA上存在三等分點(diǎn)E，使得AE=2EP，此時(shí)BE∥平面PCD．根據(jù)題意構(gòu)建平行四邊形BEFC，利用平行四邊形的性質(zhì)和直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．

解答 （I）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PA，
因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，
所以AB⊥AD．
又PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，
又因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD；
（II）解：在PA上存在三等分點(diǎn)E，使得AE=2EP，此時(shí)BE∥平面PCD．
證明如下：取PD上點(diǎn)F，使得DF=2FP，
連結(jié)BE，EF，F(xiàn)C，
則EF∥AD，且$EF=\frac{1}{3}AD$．
又AD=3BC，AD∥BC，
所以BC∥EF，且BC=EF，
因?yàn)樗倪呅蜝EFC為平行四邊形，
所以BE∥CF，
因?yàn)锽E?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．