Question

10．如圖，多面體ABCDE中，AB=AC，BE∥CD，BE⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若N是線段AE的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ACD．
（Ⅱ）若N是AE上的動(dòng)點(diǎn)且BE=1，BC=2，CD=3，求證：DE⊥MN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中點(diǎn)P，連接PM，PN，證明平面MNP∥平面ACD，即可證明MN∥平面ACD．
（Ⅱ）連接EM，AM，DM，證明DE⊥平面AEM，即可證明DE⊥MN．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)P，連接PM，PN，
由P，N為中點(diǎn)得PN∥BE∥CD，
∵PN?平面ACD，CD?平面ACD，∴PN∥平面ACD，
同理可得：PM∥平面ACD，
∵PN∩PM=P，
∴平面MNP∥平面ACD，
∵M(jìn)N?平面MNP，
∴MN∥平面ACD；
（Ⅱ）連接EM，AM，DM，
∵AB=AC且M為BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，
∴AM⊥平面BCDE，
∴AM⊥DE，
∵在直角梯形BCDE中，BE=1，BC=2，CD=3，
∴△DEM中，DE=2$\sqrt{2}$，EM=$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{10}$，
∴DE²+EM²=DM²，
∴DE⊥EM，
∵AM∩EM=M，
∴DE⊥平面AEM，
∵M(jìn)N?平面AEM，
∴DE⊥MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．