Question

10．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（a∈R）$．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意m，n∈（0，e）且m≠n，有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，討論a的取值，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
由題${f^'}（x）=\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}+1=\frac{（x+2a）（x-a）}{x^2}（x＞0）$…（2分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=1＞0，所以f（x）在（0，+∞）上遞增
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＜0得0＜x＜a，f′（x）＞0得x＞a
所以f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＜0得0＜x＜-2a，f′（x）＞0得x＞-2a
所以f（x）在（0，-2a）上遞減，在（-2a，+∞）上遞增
綜上，a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增，
a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
a＜0時(shí)，f（x）在（0，-2a）上遞減，在（-2a，+∞）上遞增…（6分）
（Ⅱ）若m＞n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$得f（m）-m＜f（n）-n
若m＜n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$得f（m）-m＞f（n）-n
令$g（x）=f（x）-x=alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}$，所以g（x）在（0，e）上單調(diào)遞減…（8分）
又${g^'}（x）=\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}=\frac{a（x-2a）}{x^2}（x＞0）$
（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=0，不符合題意；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，g′（x）＞0得x＞2a
所以g（x）在（0，2a）上遞減，在（2a，+∞）上遞增
所以2a≥e，即$a≥\frac{e}{2}$
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，在（0，+∞）上，都有g(shù)′（x）＜0
所以g（x）在（0，+∞）上遞減，即在（0，e）上也單調(diào)遞減…（11分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-∞，0）∪[\frac{e}{2}，+∞）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及不等式恒成立，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．