Question

12．已知直線l₁：3x+4ay-2=0（a＞0），l₂：2x+y+2=0．
（1）當a=1時，直線l過l₁與l₂的交點，且垂直于直線x-2y-1=0，求直線l的方程；
（2）求點M（$\frac{5}{3}$，1）到直線l₁的距離d的最大值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩個直線解析式先求出l₁和l₂的交點坐標，然后利用直線與直線x-2y-1=0垂直，根據(jù)斜率乘積為-1得到直線l的斜率，寫出直線l方程即可；
（2）由直線l₁過定點，把點M到直線l₁的距離d的最大值轉化為兩點間的距離求解．

解答 解：（1）當a=1時，直線l₁：3x+4y-2=0，l₂：2x+y+2=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得交點（-2，2）．
又由直線l垂直于直線x-2y-1=0，則直線x-2y-1=0的斜率${k}_{3}=\frac{1}{2}$，
∵兩直線垂直得斜率乘積為-1，
得到k_l=-2．
∴直線l的方程為y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0．
（2）直線l₁：3x+4ay-2=0（a＞0）過定點N（$\frac{2}{3}，0$），
又M（$\frac{5}{3}，1$），
∴點M到直線l₁的距離d的最大值為|MN|=$\sqrt{（\frac{5}{3}-\frac{2}{3}）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{2}$．

點評 本題考查了求兩條直線交點坐標的方法，考查直線方程的點斜式，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．