分析 (Ⅰ)由Sn+1=2Sn+1,可得n=1時,S1=a1;Sn>0,Sn+1≠0.變形為:Sn+1+1=2(Sn+1),即可證明數(shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列,可得Sn.再利用:n≥2時,an=Sn-Sn-1,即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=3n(n+1)=3(1n−1n+1).利用“裂項求和”方法可得:Tn.由Tn>f(x)對所有的n∈N*和x∈R都成立,可得:(Tn)min>f(x)max,利用數(shù)列的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答 (Ⅰ)證明:∵Sn+1=2Sn+1,∴n=1時,S1=a1=1;Sn>0,Sn+1≠0.
變形為:Sn+1+1=2(Sn+1),
∴數(shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列,首項為2,公比為2.
∴Sn+1=2n,于是Sn=2n-1,
∴n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1,n=1時也滿足上式.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,n∈N*.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,bn=3(log2an+1)•(log2an+2)=3n(n+1)=3(1n−1n+1).
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=3[(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)]=3(1−1n+1)=3-3n+1,
顯然Tn是單調(diào)遞增數(shù)列,故當n=1時,Tn取得最小值(Tn)min=32.
又由函數(shù)f(x)=-x2+2ax-a2+a-1=-(x-a)2+a-1,∴f(x)max=a-1,
∵Tn>f(x)對所有的n∈N*和x∈R都成立,
由題意(Tn)min>f(x)max,即32>a-1,解得a<52,
即實數(shù)a的取值范圍為(−∞,52).
點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、遞推關系、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | √2 | B. | 2√2 | C. | √3 | D. | 2√3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 8 | B. | 8√2 | C. | 16 | D. | 16√2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
賠付金額(元) | 0 | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 |
車輛數(shù)(輛) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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