Question

20．在二項(xiàng)式（$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ（其中n∈N^*）的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（　�。�

• A． 1972
• B． 448
• C． 896
• D． 224

Answer 1

分析 二項(xiàng)式（$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ（其中n∈N^*）的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n=8．再利用展開式的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵二項(xiàng)式（$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ（其中n∈N^*）的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n=8．
∴$（\frac{x}{2}+\frac{2}{\root{3}{x}}）^{8}$的展開式中的通項(xiàng)公式為：T_r+1=${∁}_{8}^{r}（\frac{x}{2}）^{8-r}（\frac{2}{\root{3}{x}}）^{r}$=2^2r-8${∁}_{8}^{r}$${x}^{8-\frac{4r}{3}}$．
令8-$\frac{4r}{3}$=0，解得r=6．
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)=${2}^{4}{∁}_{8}^{6}$=448．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．