Question

13．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4，f′（x）＜2，則f（x³）＞2x³+2的解集是（-1，1）．

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-2x，求導(dǎo)，f′（x）＜2，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，將f（x³）＞2x³+2轉(zhuǎn)化成f（x³）-2x³＞f（1）-2×1，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得x²＜1，即可解得x的取值范圍．

解答 解：令F（x）=f（x）-2x，又f'（x）＜2，
則F'（x）=f'（x）-2＜0
∴F（x）在R上單調(diào)遞減
∵f（1）=4，
∴f（x³）＞2x³+2可轉(zhuǎn)化成f（x³）-2x³＞f（1）-2×1，
即F（x²）＞F（1），
根據(jù)F（x）在R上單調(diào)遞減則：x²＜1，
解得：-1＜x＜1，
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)已知函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，考查學(xué)生會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題．