Question

19．如圖是函數$f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的圖象的一部分．
（1）求函數y=f（x）的解析式．
（2）若$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}，α∈[\frac{π}{2}，π]，求tan2α$．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件求得 $cos2α=\frac{1}{2}$，再根據 2α∈[π，2π]，求得2α=$\frac{5π}{3}$，可得tan2α 的值．

解答 解：（1）由圖象可知振幅A=3，又$T=\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）=π$，∴ω=$\frac{2π}{T}=2$，∴f（x）=3sin（2x+φ）．
再根據五點法作圖可得 2•$\frac{π}{3}$+φ=π，∴$ϕ=\frac{π}{3}$，∴$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（2）∵$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{3}{2}$，∴$3sin（2α+\frac{π}{2}）=\frac{3}{2}$，∴$cos2α=\frac{1}{2}$．
∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴2α∈[π，2π]，∴2α=$\frac{5π}{3}$，∴tan2α=tan$\frac{5π}{3}$=tan（-$\frac{π}{3}$）=-tan$\frac{π}{3}$=-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．