Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-kx（k∈R），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上的有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求k的取值范圍；
（3）由（2）知，h（x））=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上是增函數(shù)，在[$\sqrt{e}$，e²]上是減函數(shù)，利用函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上有2個(gè)零點(diǎn)，可得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$ …2 分
∴f′（1）=1，…（3分）
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1；…（4分）
（2）設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$（x＞0）
令h′（x）=0，解得：x=$\sqrt{e}$； …（6分）
當(dāng)x在（0，+∞）上變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	$\frac{1}{2e}$	↘

由上表可知，當(dāng)x=$\sqrt{e}$時(shí)，h（x）取得最大值$\frac{1}{2e}$，…（8分）
由已知對(duì)任意的x＞0，k＞h（x）恒成立
∴k的取值范圍是（$\frac{1}{2e}$，+∞）．…（10分）
（3）令g（x）=0得：k=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，…（11分）
由（2）知，h（x））=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上是增函數(shù)，在[$\sqrt{e}$，e²]上是減函數(shù)．
且h（$\frac{1}{e}$）=-e²，h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{4}}$
當(dāng)$\frac{2}{{e}^{4}}$≤k＜$\frac{1}{2e}$時(shí)，函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上有2個(gè)零點(diǎn)，…（13分）
∴k的取值范圍是$\frac{2}{{e}^{4}}$≤k＜$\frac{1}{2e}$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．