Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和為4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+1與軌跡C交于A，B兩點．
（1）求出軌跡C的方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求弦長|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足 

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，由此利用韋達定理、弦長公式能求出弦長|AB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點，
長半軸為2的橢圓．…（2分）
它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，…（4分），
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標滿足 

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，
消去y，整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．…（8分）
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化簡得-4k²+1=0，所以k2=

1

4

．…（11分）|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 [ 4k2 (k2+4)2 + 12 k2+4 ]

=

4 65

17

．…（13分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．