Question

13．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinB$．
（1）求角B的值；
（2）若a+c=6，且△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求邊b的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)求解得到sinC，然后求解B的正確函數(shù)值．
（2）利用三角形的面積求出ab的值，然后通過余弦定理，轉化求解．

解答 解：（1）由$a=bcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$csinB及正弦定理得：$sinA=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（1分）
∴$sin（{B+C}）=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（2分）
∴$sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$．…（3分）
∴$cosBsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinB$…（4分）
又∵C為三角形內角，可得sinC≠0，
∴$tanB=\sqrt{3}$．…（5分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵△ABC面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ac•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，ac=6．…（9分）
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=36-18=18，
∴$b=3\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，考查三角形的面積以及三角形的解法，考查計算能力．