Question

18．已知橢圓E過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$，∠F₁AF₂的平分線所在直線為l．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設l與x軸的交點為Q，求點Q的坐標及直線l的方程；
（Ⅲ）在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過點A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（Ⅱ）求得AF₁方程、AF₂方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F₁AF₂的平分線所在直線l的方程；
（Ⅲ）假設存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點關于直線l對稱，設出直線BC方程代入橢圓E的方程，求得BC中點代入直線2x-y-1=0上，即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$  （a＞b＞0）
∵橢圓E經(jīng)過點A（2，3），離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$解a²=16，b²=12．
∴橢圓方程E為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∵A（2，3），∴AF₁方程為：3x-4y+6=0，AF₂方程為：x=2
設角平分線上任意一點為P（x，y），$\frac{|3x-4y+6|\\;\\;}{5}=|\\;x-2|\$；
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率為正，∴直線方程為2x-y-1=0；l與x軸的交點為Q，點Q的坐標（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅲ）假設存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）兩點關于直線l對稱，∴kBC=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BC方程為y=-$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．，
得x²-mx+m²-12=0，∴BC中點為（$\frac{m}{2}，\frac{3m}{4}$）
代入直線2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴BC中點為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設條件的相異的兩點．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線方程，考查對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．