Question

3．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實(shí)數(shù)對（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”，給出下列四個集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2^x-2}；
④M={（x，y）|y=log₂x}
其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是（　　）

• A． ②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直對點(diǎn)集”，就是在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)A，得直線OA，過原點(diǎn)與OA垂直的直線OB，若OB總與函數(shù)圖象相交即可．

解答 解：由題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}滿足：
對于任意A（x₁，y₁）∈M，存在B（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
因此$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．所以，若M是“垂直對點(diǎn)集”，
那么在M圖象上任取一點(diǎn)A，過原點(diǎn)與直線OA垂直的直線OB總與函數(shù)圖象相交于點(diǎn)B．
對于①：M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}，其圖象是過一、二象限，且關(guān)于y軸對稱，
所以對于圖象上的點(diǎn)A，在圖象上存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA，所以①符合題意；
對于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數(shù)圖象，
在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，
因?yàn)閥=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，
因此直線OB總會與y=sinx+1的圖象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點(diǎn)集”，故②符合題意；
對于③：M={（x，y）|y=2^x-2}，其圖象過點(diǎn)（0，-1），
且向右向上無限延展，向左向下無限延展，
所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，
過原點(diǎn)作OA的垂線OB必與y=2^x-2的圖象相交，即一定存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2^x-2}是“垂直對點(diǎn)集”．故③符合題意；
對于④：M={x，y）|y=log₂x}，對于函數(shù)y=log₂x，
取點(diǎn)（1，0），與y軸垂直，所以沒有對應(yīng)點(diǎn)，切點(diǎn)T明顯在x軸下方有對應(yīng)點(diǎn)
所以對切點(diǎn)T，不存在點(diǎn)M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log₂x}不是“垂直對點(diǎn)集”；故④不符合題意．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查“垂直對點(diǎn)集”的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．