Question

8．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（2）若把曲線C₁上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，得到曲線C₂，設(shè)點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)可得曲線C₁的普通方程，與直線l聯(lián)立方程組求解A，B坐標(biāo)，兩點之間的距離公式可得|AB的長度．
（2）由題意得曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），設(shè)點$P（\sqrt{3}cosθ，3sinθ）$，點到直線的距離公式，利用三角函數(shù)的有界限，可得距離的最大值．

解答 解：（1）由題意，消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為$y=\sqrt{3}（x-1）$，
根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)，曲線C₁的普通方程為x²+y²=1，
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}（x-1）\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得A（1，0），$B（\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴|AB|=1．
（2）由題意得曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），設(shè)點$P（\sqrt{3}cosθ，3sinθ）$，
∴點P到直線l的距離$d=\frac{{|3cosθ-3sinθ-\sqrt{3}|}}{2}$=$\frac{1}{2}|3\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{3}|$，
當(dāng)$sin（θ-\frac{π}{4}）=1$時，${d_{max}}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$．
∴曲線C₂上的一個動點它到直線l的距離的最大值為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)、參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)換，考查了參數(shù)方程的幾何意義．屬于中檔題．