Question

7．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖，M是A′B的中點(diǎn)，N是棱B′C′上任意一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)N是棱B′C′中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ACC′A′；②MN⊥A′C；③三棱錐N-A′BC的體積$V=\frac{a^3}{6}$；④點(diǎn)M是多面體的球心．其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 本題是直觀圖和三視圖的綜合分析題，要抓住M是A′B的中點(diǎn)，N是棱B′C′上的任意一點(diǎn)（含頂點(diǎn)）就是動(dòng)點(diǎn)，從三視圖抓住直觀圖的特征，結(jié)合下情況分別判斷即可得答案．

解答 解：①M(fèi)連接AB中點(diǎn)E，N連接BC中點(diǎn)F，得到MNFE平行于平面ACC′A′，面面平行即可得到線面平行，故①正確；
②M連接A′C中點(diǎn)G，連接C′G，A′C⊥平面MNC′G．∴MN⊥A′C，故②正確；
③三棱錐N-A′BC的體積為${V}_{N-{A}^{′}BC}$=$\frac{1}{3}$•S_△BCA′•MB′=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$•CA′•BC•MB′=$\frac{{a}^{3}}{6}$，故③正確；
④由三視圖可知：此多面體是正方體切割下來了的，M是A′B的中點(diǎn)（空間對(duì)角線中點(diǎn)），是正方體中心，∴點(diǎn)M是該多面體外接球的球心．故④正確．
∴正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐、棱柱、棱臺(tái)的體積，考查了直觀圖和三視圖的關(guān)系，通過三視圖抓住直觀圖的特征，線面垂直的判定和性質(zhì)，遇中點(diǎn)找中點(diǎn)的思想．考慮補(bǔ)形來確定球心．考查空間想象能力，是中檔題．