Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（c，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與直線x=2交于點(diǎn)A，與直線x=-2交于點(diǎn)B，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，判斷并證明直線l與橢圓有多少個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得a和c的值，由橢圓的性質(zhì)可知b²=a²-c²=1，即可求得b，求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線方程，求得A和B坐標(biāo)，由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，求得b²=1+4k²，將直線代入橢圓方程，由△=0，直線l與橢圓有1個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可知：2a=4，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²，b=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）顯然，直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為l：y=kx+b，
則：A（2，2k+b），B（-2，-2k+b），
由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，可知：（2-$\sqrt{3}$，2k+b）•（-2-$\sqrt{3}$，-2k+b）=-1-4k²+b²=0，
即b²=1+4k²，
將直線l：y=kx+b與橢圓聯(lián)立，x²+4（kx+b）²=4，
∴（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
△=64k²b²-4（1+4k²）（4b²-4）
=64k²（1+4k²）-4（1+4k²）（4+16k²-4）=0，
所以直線和橢圓恰有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．