Question

13．給出下列四個命題：
①若x＞0，且x≠1，則lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2； 
②f（x）=lg（x²+ax+1），定義域為R，則-2＜a＜2；
③函數(shù)y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一條對稱軸是直線x=$\frac{5}{12}$π；
④若x∈R，則“復(fù)數(shù)z=（1-x²）+（1+x）i為純虛數(shù)”是“l(fā)g|x|=0”必要不充分條件．
其中，所有正確命題的序號是  ②．

Answer 1

分析 對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若0＜x＜1，則lgx+$\frac{1}{lgx}$≤-2，故錯誤； 
②f（x）=lg（x²+ax+1），定義域為R，則△=a²-4＜0，∴-2＜a＜2，正確；
③x=$\frac{5}{12}$π時，y=cos（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=0，∴函數(shù)y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的一條對稱軸是直線x=$\frac{5}{12}$π，不正確；
④若復(fù)數(shù)z=（1-x²）+（1+x）i為純虛數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{1+x≠0}\end{array}\right.$，解得：x=1，∴l(xiāng)g|x|=lg1=0，是充分條件，
若lg|x|=0，則：x=±1，x=1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，x=-1時，z=0，不滿足條件，不是必要條件，∴x∈R，則“復(fù)數(shù)z=（1-x²）+（1+x）i為純虛數(shù)”是“l(fā)g|x|=0”充分不必要條件，不正確．
故答案為：②．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．