Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx．（a，b∈R）．
（1）曲線y=f（x）上一點A（1，2），若在點A處的切線與直線2x-y-10=0平行，求a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），若f′（2）=$\frac{1}{2}$，且函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a，b的值即可；
（2）由f′（2）=$\frac{1}{2}$，得到f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$，再分函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b，
∵f（x）上一點A（1，2），若在點A處的切線與直線2x-y-10=0平行，
∴f'（1）=$\frac{1}{1}$+2a+b=2，即2a+b=1，
∴f（1）=ln1+a+b=2，
解得a=-1，b=3，
（2）由（1）知f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b，f′（2）=$\frac{1}{2}$，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$+4a+b=$\frac{1}{2}$，即4a+b=0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-4a=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$
①當(dāng)函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)時，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$≥0恒成立，
∴2ax²-4ax+1≥0恒成立，其對稱軸為x=2，
當(dāng)a=0時，滿足題意，
當(dāng)a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16{a}^{2}-8a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
②當(dāng)函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)時，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$≤0恒成立，
∴2ax²-4ax+1≤0恒成立，其對稱軸為x=2，
當(dāng)a=0時，不滿足題意，
當(dāng)a≠0時，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=16{a}^{2}-8a≤0}\end{array}\right.$，無解，
綜上所述a的取值為[0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題