Question

20．如圖，將兩個全等的有一銳角為30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC 拼在一起組成平面四邊形ABCD，若$\overrightarrow{CA}$=x$\overrightarrow{CB}$+y$\overrightarrow{CD}$，則x+y=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由條件即可得出BD⊥CA，從而可分別以BD，CA所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并設(shè)AB=2，這樣即可求出圖中各點的坐標，進而得出向量$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}$的坐標，帶入$\overrightarrow{CA}=x\overrightarrow{CB}+y\overrightarrow{CD}$進行向量數(shù)乘的坐標運算便可求出x+y的值．

解答 解：由題意可知，BD⊥CA；
∴分別以BD，CA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)AB=2，則：
OA=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，$OC=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴$A（0，\sqrt{3}），B（-1，0），C（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}），D（1，0）$；
∴$\overrightarrow{CA}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}），\overrightarrow{CB}=（-1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{CD}=（1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$；
∴由$\overrightarrow{CA}=x\overrightarrow{CB}+y\overrightarrow{CD}$得，$（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}）=（y-x，\frac{\sqrt{3}}{3}（x+y））$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}（x+y）=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；
解得，x+y=4；
故選D．

點評 考查等腰三角形的中線也是高線，通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，三角函數(shù)的定義，能求平面上點的坐標，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量數(shù)乘的坐標運算．