Question

13．已知曲線(xiàn)C₁：ρ=4sinα，直線(xiàn)C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），點(diǎn)P（x，y）在曲線(xiàn)C₁上
（1）求2x+y的取值范圍；
（2）若曲線(xiàn)C₁與曲線(xiàn)C₂相交，求交點(diǎn)間的距離；若不相交，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出曲線(xiàn)曲線(xiàn)C₁是圓心為C₁（0，2），半徑r=2的圓，設(shè)P（2cosθ，2+2sinθ），利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出2x+y的取值范圍．
（2）直線(xiàn)C₂：y=x，則圓心到C₂的距離為d=$\sqrt{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C₁：ρ=4sinα，即ρ²=4ρsinα，
∴x²+y²=4y，整理，得x²+（y-2）²=4，
∴曲線(xiàn)C₁是圓心為C₁（0，2），半徑r=2的圓，
圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
∵點(diǎn)P（x，y）在曲線(xiàn)C₁上，∴設(shè)P（2cosθ，2+2sinθ），
∴2x+y=4cosθ+2+2sinθ=2$\sqrt{5}$cos（θ-φ）+2∈[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]，
∴2x+y的取值范圍是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．
（2）由（1）知C₁：x²+（y-2）²=4，
∵直線(xiàn)C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），∴C₂：y=x，
圓心C₁（0，2），則圓心到C₂的距離為d=$\sqrt{2}$＜2，
故直線(xiàn)C₁與圓C₂相交．
則|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-cd3dcf9^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的取值的求法，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷，考查弦長(zhǎng)的求法，涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．