Question

15．在極坐標(biāo)系中，圓C₁：ρ=4cosθ與圓C₂：ρ=2sinθ相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 可由這兩圓的極坐標(biāo)方程，在方程的兩邊同乘以ρ即可得出其平面直角坐標(biāo)系下的方程，兩圓的方程相減，可得公共弦的方程，根據(jù)勾股定理即可求出|AB|的值．

解答 解：由ρ=4cosθ得，ρ²=4ρcosθ；
∴x²+y²=4x；
∴（x-2）²+y²=4；
∴該圓表示以（2，0）為圓心，2為半徑的圓；
由ρ=2sinθ得，ρ²=2ρsinθ；
∴x²+y²=2y；
∴x²+（y-1）²=1；
∴該圓表示以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；
兩圓的方程相減，可得公共弦的方程為2x-y=0，
（2，0）到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，∴|AB|=2$\sqrt{4-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查圓的極坐標(biāo)方程的表示，以及極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的公式，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．