Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ．
（1）化曲線C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）設(shè)曲線C₂與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P（m，0）（m＞0），經(jīng)過點P作斜率為1的直線l，l交曲線C₂于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去曲線C₁的參數(shù)θ可得普通方程；根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得曲線C₂的普通方程；
（2）令曲線C₂的y=0，求解P的坐標(biāo)，可得過P的直線方程，參數(shù)方程的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，消去參數(shù)可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，表示焦點在y軸上的橢圓方程．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ，可得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴x²+y²=2x-4y，整理得（x-1）²+（y+2）²=5，表示以（1，-2）為圓心，半徑r=$\sqrt{5}$的圓．
（2）曲線C₂與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，
∴P（2，0），可得直線l：y=x-2．
將曲線C₁的參數(shù)方程帶入直線l可得：$2\sqrt{3}$sinθ=2cosθ-2．
整理可得：cos（$θ+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，即θ=2kπ或$θ=\frac{4π}{3}+2kπ$，（k∈Z）．
那么：A（2，0），B（-1，-3），
∴|AB|=$3\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義應(yīng)用的思想，屬于中檔題．