Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：4${\;}^{{b_1}-1}}$•4${\;}^{{b_2}-1}}$•…4${\;}^{{b_n}-1}}$=（a_n+1）^b_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：${4}^{_{1}-1}•{4}^{_{2}-1}$…$•{4}^{_{n-1}-1}$•${4}^{_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{_{n}}$=${2}^{n_{n}}$，n≥2時(shí)，${4}^{_{1}-1}•{4}^{_{2}-1}$…$•{4}^{_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）_{n-1}}$，可得${4}^{_{n}-1}$=${2}^{n_{n}-（n-1）_{n-1}}$，化為：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，相減化簡(jiǎn)即可證明．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）證明：數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：${4}^{_{1}-1}•{4}^{_{2}-1}$…$•{4}^{_{n-1}-1}$•${4}^{_{n}-1}$=$（{a}_{n}+1）^{_{n}}$=${2}^{n_{n}}$
n=1時(shí)，${4}^{_{1}-1}$=${2}^{_{1}}$，解得b₁=2．
n≥2時(shí)，${4}^{_{1}-1}•{4}^{_{2}-1}$…$•{4}^{_{n-1}-1}$=${2}^{（n-1）_{n-1}}$，
可得${4}^{_{n}-1}$=${2}^{n_{n}-（n-1）_{n-1}}$，化為：2（b_n-1）=nb_n-（n-1）b_n-1，
可得：2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
相減可得：（n-1）b_n+1+（n-1）b_n-1=2（n-1）•b_n，
化為：b_n+1+b_n-1=2•b_n，
∴{b_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．