Question

18．在直角坐標系xOy中，直線C₁：$y=-\sqrt{3}x$，曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}+cosφ\\ y=-2+sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求C₁的極坐標方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）把C₁繞坐標原點沿順時針方向旋轉$\frac{π}{3}$得到直線C₃，C₃與C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化簡可得C₁的極坐標方程；根據(jù)同角三角函數(shù)關系式，消去參數(shù)，可得C₂直角坐標方程．
（Ⅱ）由題意可得C₃：$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，即$y=\sqrt{3}x$，再根據(jù)點到直線的距離公式和直角三角形即可求出．

解答 解：（Ⅰ）直線C₁：$ρsinθ=-\sqrt{3}ρcosθ⇒θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，
曲線C₂的普通方程為${（x+\sqrt{3}）^2}+{（y+2）^2}=1$．
（Ⅱ）C₃：$θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，即$y=\sqrt{3}x$．
圓C₂的圓心到直線C₃的距離$d=\frac{{|{-3+2}|}}{2}=\frac{1}{2}$．
所以$|{AB}|=2\sqrt{{1^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程、參數(shù)方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．