Question

11．已知雙曲線的焦點在x軸上，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，漸近線方程為$\sqrt{2}x±y=0$，問：過點B（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于M，N兩點，并且點B為線段MN的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出a，b，可得雙曲線方程；先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在兩張千克設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時，結(jié)合雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則根據(jù)△＞0及其P是線段AB的中點，找出矛盾，然后判斷當(dāng)k不存在時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，綜上，符合條件的直線l不存在．

解答 解：根據(jù)題意，c=$\sqrt{3}$，$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，∴雙曲線的方程是：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
①當(dāng)k存在時，聯(lián)立方程可得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點，可得
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜$\frac{3}{2}$，
又方程的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標
∴x₁+x₂=$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$，
又∵P（1，1）是線段AB的中點，
∴$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$=2，解得k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時，方程（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 無實數(shù)解
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且P為線段AB中點的直線不存在．
②當(dāng)x=1時，直線經(jīng)過點P但不滿足條件，
綜上所述，符合條件的直線l不存在．

點評 本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)的運用，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．