Question

設A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，長軸長為4，短軸長為2，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線l：x=3與PA，PB分別交于M，N兩點，做以MN為直徑的圓，設此圓圓心為Q．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）圓Q恒過x軸上兩個定點，求這兩個定點的坐標；
（3）試判斷PQ直線與橢圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接由題意得橢圓的長半軸長和短半軸長，則橢圓方程可求；
（2）設出P的坐標，寫出PA和PB的方程，求出M，N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，取y=0的定點坐標；
（3）直接寫出PQ的方程，化簡后和橢圓方程聯(lián)立，求得y=y₀，說明兩曲線有一個切點．

解答： 解：（1）∵2a=4，2b=2，得a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設P（x₀，y₀），則PA的方程為

y-0

y0-0

=

x+2

x0+2

，取x=3，則M（3，

5y0

x0+2

），
PB的方程為

y-0

y0-0

=

x-2

x0-2

，取x=3，則N（3，

y0

x0-2

）．
∴MN的中點為Q（3，

3x0y0-4y0

x02-4

），
∴以MN為直徑的圓Q的方程為(x-3)2+(y-

3x0y0-4y0

x02-4

)2=(

2x0y0-6y0

x02-4

)2．
取y=0，得(x-3)2=

20y02-5x02y02

(x02-4)2

．
∵

x02

4

+y02=1，∴y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

，4-x02=4y02．
∴(x-3)2=

20y02-5x02y02

(x02-4)2

=

20y02-5y02(4-4y02)

16y04

=

5

4

．
x-3=±

5

2

，
∴x=3±

5

2

，
∴兩個定點的坐標為（3-

5

2

，0），（3+

5

2

，0）；
（3）直線PQ方程為

y-y0

3x0y0-4y0 x02-4 -y0

=

x-x0

3-x0

，即x=-

4

x0

(y0y-1)，
與

x2

4

+y2=1聯(lián)立可得：y=y₀．
∴PQ直線與橢圓的位置關系是相切．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關系，著重考查了學生的計算能力，是壓軸題．