Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x，g（x）=（m-1）x²+2mx-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤g（x）恒成立，求整數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-g（x），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而求出m的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}=\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}（x＞0）$
由f'（x）=0解得x=1，
x，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞），
當x=1時，f（x）有極大值f（1）=0；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1（x＞0），
$F'（x）=\frac{1}{x}-2mx+1-2m=\frac{{-2m{x^2}+（1-2m）x+1}}{x}=\frac{-（2mx-1）（x+1）}{x}$，
（1）當m≤0時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又F（1）=-3m+2＞0，所以不滿足題意．
（2）當m＞0時，當$0＜x＜\frac{1}{2m}$時，F(xiàn)'（x）＞0，當$x＞\frac{1}{2m}$時，F(xiàn)'（x）＜0，
所以F（x）在$（0，\frac{1}{2m}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{2m}，+∞）$上單調(diào)遞減，
$F{（x）_{max}}=F（\frac{1}{2m}）=\frac{1}{4m}-ln2m$，
令$h（m）=\frac{1}{4m}-ln2m$，因為h（m）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且$h（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}＞0，h（1）=\frac{1}{4}-ln2＜0$，
所以當m≥1時，h（m）＜0，整數(shù)m的最小值為1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．