Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜2）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點是橢圓的頂點．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點M（-1，0）作拋物線的切線l，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率求出b，得到橢圓方程，求出橢圓的頂點坐標(biāo)，得到拋物線方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組利用判別式為0求解即可．

解答 解：（1）橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜2）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，a=2可得b=1，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．它的頂點坐標(biāo)（0，±1），
拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點是橢圓的頂點，可得p=1，
拋物線C₂：x²=2y；
（2）設(shè)過點M（-1，0）作拋物線的切線l，y=k（x+1），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，可得x²-2kx-2k=0，
△=4k²+8k=0，解得k=0或k=-2，
所求是切線方程為：y=0或2x+y+2=0．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．