已知函數(shù)f（x）=-x2+ax-lnx（a∈R）．
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）在數(shù)學公式上的最大值；
（2）當函數(shù)f（x）在數(shù)學公式單調(diào)時，求a的取值范圍．

解：（1）a=3時，，
∵當時，f′（x）＞0，當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間僅有極大值點x=1，故這個極大值點也是最大值點，
故函數(shù)在最大值是f（1）=2，…（5分）
（2），令，則，
則函數(shù)g（x）在遞減，在遞增，
由，，，故函數(shù)g（x）在的值域為．
若f'（x）≤0在恒成立，即在恒成立，只要，
若要f'（x）≥0在在恒成立，即在恒成立，
只要．
即a的取值范圍是．…（12分）
分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)f（x）在上的單調(diào)性，從而可f（x）在上的最大值；
（2）函數(shù)f（x）在單調(diào)，等價于f'（x）≤0在恒成立，或f'（x）≥0在在恒成立，利用分離參數(shù)法，求出函數(shù)的最值即可．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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