Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用數(shù)列當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，求出遞推關(guān)系式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式．

解答 解：由${S_n}=\frac{3}{2}-{a_n}$，當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=\frac{3}{2}-{a_{n-1}}$，
兩式相減，a_n=-a_n+a_n-1，
所以${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}\;\;（n≥2）$，又${S_2}=\frac{3}{2}-{a_2}=1+{a_2}$，
解得：${a_2}=\frac{1}{4}$，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=\frac{1}{4}×{（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n=1\\{（{\frac{1}{2}}）^n}\;\;\;\;\;n≥2\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 數(shù)列的通項(xiàng)a_n或前n項(xiàng)和S_n中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．