Question

4．P為橢圓$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$上異于左右頂點(diǎn)A₁、A₂的任意一點(diǎn)，則直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$-\frac{1}{2}$．將這個(gè)結(jié)論類比到雙曲線，得出的結(jié)論為：P為雙曲線$\frac{x^2}{{2{b^2}}}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$上異于左右頂點(diǎn)A₁、A₂的任意一點(diǎn)，則（　　）

• A． 直線PA₁與PA₂的斜率之和為定值$\frac{1}{2}$
• B． 直線PA₁與PA₂的斜率之和為定值2
• C． 直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$\frac{1}{2}$
• D． 直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值2

Answer 1

分析 驗(yàn)證直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值即可．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{x_0^2}{{2{b^2}}}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，即$y_0^2=\frac{1}{2}（{x_0^2-2{b^2}}）$，
∵${A_1}（{-\sqrt{2}b，0}）$、${A_2}（{\sqrt{2}b，0}）$，
∴${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}b}}•\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{2}b}}=\frac{y_0^2}{{x_0^2-2{b^2}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{x_0^2-2{b^2}}）}}{{x_0^2-2{b^2}}}=\frac{1}{2}$，${k_{P{A_1}}}+{k_{P{A_2}}}$為定值．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．