Question

16．已知向量$\overrightarrow a$=（k，6）與向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，若$\overrightarrow c$=（x，y），（x＞0，且|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影為1，則向量$\overrightarrow c$的坐標為（7，4）．

Answer 1

分析 跟姐姐向量垂直的關系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積求出k=8，根據(jù)向量投影的定義建立方程結(jié)合向量模長的公式建立方程組進行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$=（k，6）與向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=3k-4×6=0，即k=8，
即$\overrightarrow a$=（8，6），$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$=（8+x，6+y），
則向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影為
$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{3（8+x）-4（6+y）}{5}$=1，
即3x-4y=5，即y=$\frac{3x-5}{4}$
∵|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{65}}）$，
即x²+y²=65，②
將y=$\frac{3x-5}{4}$代入x²+y²=65得x²+（$\frac{3x-5}{4}$）²=65
整理得5x²-6x-203=0，
得x=7或x=-$\frac{29}{5}$（舍），
此時y=4，
即向量$\overrightarrow c$的坐標為（7，4），
故答案為：（7，4）

點評 本題主要考查向量坐標的求解，根據(jù)向量垂直和向量投影的定義建立方程關系進行求解是解決本題的關鍵．運算量比較大．