Question

16．已知$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂為不共線的單位向量，設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{e}$₁+k$\overrightarrow{e}$₂（k∈R），若對任意的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均有|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$成立，則向量$\overrightarrow{e}$₁，$\overrightarrow{e}$₂夾角的最大值是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出${\overrightarrow}^{2}$的表達(dá)式，再由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$求出${\overrightarrow}^{2}$≥$\frac{3}{4}$，得出不等式k²+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞+$\frac{1}{4}$對任意k∈R恒成立，利用△≤0求出cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞的取值范圍，從而得出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最值．

解答 解：∵${\overrightarrow}^{2}$=${（\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}$
=${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+k²${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=k²+1+2k•cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$得，
${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{3}{16}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+|${\overrightarrow}^{2}$|≥$\frac{3}{16}$，
∴${|\overrightarrow|}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≥0，
∴${|\overrightarrow|}^{2}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，
∴|$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${\overrightarrow}^{2}$≥$\frac{3}{4}$，
即k²+1+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≥$\frac{3}{4}$恒成立；
∴k²+2kcos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞+$\frac{1}{4}$≥0對任意k∈R恒成立，
∴△=4cos²＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞-1≤0，
解得-$\frac{1}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≤$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}$≤＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最大值是$\frac{2π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量減法的三角形法則，二次函數(shù)取值情況和判別式△的關(guān)系，向量夾角的范圍問題，是綜合性題目．