16.已知$\overrightarrow{e}$1,$\overrightarrow{e}$2為不共線的單位向量,設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$,$\overrightarrow$=$\overrightarrow{e}$1+k$\overrightarrow{e}$2(k∈R),若對任意的向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$均有|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$成立,則向量$\overrightarrow{e}$1,$\overrightarrow{e}$2夾角的最大值是( 。
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{2π}{3}$C.$\frac{3π}{4}$D.$\frac{5π}{6}$

分析 根據(jù)題意求出${\overrightarrow}^{2}$的表達(dá)式,再由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$求出${\overrightarrow}^{2}$≥$\frac{3}{4}$,得出不等式k2+2kcos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>+$\frac{1}{4}$對任意k∈R恒成立,利用△≤0求出cos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>的取值范圍,從而得出$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最值.

解答 解:∵${\overrightarrow}^{2}$=${(\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{2}})}^{2}$
=${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+2k$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+k2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=k2+1+2k•cos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>,
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$得,
${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{3}{16}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×|$\overrightarrow$|•cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$>+|${\overrightarrow}^{2}$|≥$\frac{3}{16}$,
∴${|\overrightarrow|}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow$|cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$>≥0,
∴${|\overrightarrow|}^{2}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow$|cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$>,
∴|$\overrightarrow$|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴${\overrightarrow}^{2}$≥$\frac{3}{4}$,
即k2+1+2kcos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>≥$\frac{3}{4}$恒成立;
∴k2+2kcos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>+$\frac{1}{4}$≥0對任意k∈R恒成立,
∴△=4cos2<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>-1≤0,
解得-$\frac{1}{2}$≤cos<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>≤$\frac{1}{2}$;
∴$\frac{π}{3}$≤<$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$>≤$\frac{2π}{3}$,
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角的最大值是$\frac{2π}{3}$.
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查了單位向量的概念,向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式,以及向量減法的三角形法則,二次函數(shù)取值情況和判別式△的關(guān)系,向量夾角的范圍問題,是綜合性題目.

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