Question

4．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角共公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值，得出結(jié)論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$+sin2x，故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}$=π，
最大值為$\frac{3}{2}$+1=$\frac{5}{2}$．
（2）將函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=$\frac{3}{2}$+sin2（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$+sin（2x+$\frac{2π}{3}$） 的圖象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．