Question

若定義在[a，b]上的函數f（x）=x³-3x²+1的值域為[-3，1]，則b-a的最大值是

 

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：本題先通過導函數研究函數的極值，再利用方程得到相應的邊界點，然后解不等式得到x的取值范圍，從而得到最大的區(qū)間[a，b]，求出b-a的最大值，得到本題結論．

解答： 解：∵函數f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴當x＜0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-∞，0）上單調遞增；
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，函數f（x）在（0，2）上單調遞減；
當x＞2時，f′（x）＞0，函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增．
∴當x=0時，f（x）有極大值，f（0）=1，
當x=2時，f（x）有極小值，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
∵當f（x）=1時，x=0或x=3，
當f（x）=-3時，x=2或x=-1，
∴若-3≤f（x）≤1，則-1≤x≤3．
∴定義在[a，b]上的函數f（x）=x³-3x²+1的值域為[-3，1]，則b-a的最大值是1-（-3）=4．
故答案為：4．

點評：本題考查了導函數與函數的最值，還考查了數形結合思想，本題難度適中，計算量略大，屬于中檔題．