Question

【題目】現(xiàn)定義：設(shè)是非零實(shí)常數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)為“關(guān)于的偶型函數(shù)”

（1）請(qǐng)以三角函數(shù)為例，寫出一個(gè)“關(guān)于2的偶型函數(shù)”的解析式，并給予證明

（2）設(shè)定義域?yàn)榈摹瓣P(guān)于的偶型函數(shù)”在區(qū)間上單調(diào)遞增，求證在區(qū)間上單調(diào)遞減

（3）設(shè)定義域?yàn)?/span>的“關(guān)于的偶型函數(shù)”是奇函數(shù)，若，請(qǐng)猜測(cè)的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論

Answer 1

【答案】（1），答案不唯一（2）證明見解析（3），證明見解析

【解析】

（1）令，由于，則可證明；

（2）根據(jù)題意可知，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明；

（3）由題得，可得結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法得到，即可得證．

（1），

∴為“關(guān)于2的偶型函數(shù)”.

（2）.

任取則，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減

（3）猜測(cè)數(shù)學(xué)歸納法證明：

1.當(dāng)時(shí)因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以得證

2.假設(shè)當(dāng)，成立，

因?yàn)?/span>，

又∵奇函數(shù)，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，所以得證.