Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，和均為等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若的面積為,求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）證明線面平行，需在平面內(nèi)構(gòu)造一條線平行于已知直線，將直線沿平移，點(diǎn)至點(diǎn)處，則點(diǎn)應(yīng)移至中點(diǎn)處，故取中點(diǎn)，連接、.

若證，則需證明、平行且相等，、需要以作為中間量.

（Ⅱ）根據(jù)兩個(gè)等邊三角形和面面垂直，假設(shè)一邊長為x，表示的面積，解出x，求出三棱錐底面的面積.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以三棱錐底面上的高為到底面距離的一半.

詳解：（1）取的中點(diǎn)，連接，；取的中點(diǎn),連接，

因?yàn)?/span>是正三角形，所以.

因?yàn)?/span>，所以四邊形為矩形，

從而，.

因?yàn)?/span>為的中位線,

所以，，即，，

所以四邊形是平行四邊形，從而，

又面，所以面.

（2）取的中點(diǎn)，連接，則.

過點(diǎn)作交于.

因?yàn)?/span>，面面，面面

所以面.又因?yàn)?/span>面，所以.

又因?yàn)?/span>，，面，.

所以面，又因?yàn)?/span>面，所以.

由于為中點(diǎn),易知.

設(shè)，則的面積為，

解得，從而，

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