分析 (Ⅰ)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)通過平移求出g(x)的解析式,x∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]上時,求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結合三角函數(shù)的圖象和性質,求出f(x)的最大值和最小值,即得到f(x)的值域.
解答 解:函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+\frac{π}{6})+1,x∈R.
化簡可得:f(x)=2cosxsinxcos\frac{π}{6}+2cos2xsin\frac{π}{6}+1
=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}+1
=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π;
由f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}
由2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z.
解得:-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ,k∈Z.
故函數(shù)f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}的單調遞增區(qū)間為[-\frac{π}{3}+kπ,\frac{π}{6}+kπ],k∈Z.
(Ⅱ)f(x)的圖象向右平移\frac{π}{3}個單位得到:sin[2(x-\frac{π}{3})x+\frac{π}{6}]+\frac{3}{2}=sin(2x-\frac{π}{2})+\frac{3}{2}=g(x)
∴g(x)=-cos2x+\frac{3}{2},
∵x∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}],
∴-\frac{π}{3}≤2x≤\frac{2π}{3}.
∴-\frac{1}{2}≤cos2x≤1.
∴函數(shù)的值域為[{\frac{1}{2},2}].
點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵.屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | x和\stackrel{∧}{y}負相關,y與\stackrel{∧}{z}負相關 | B. | x和\stackrel{∧}{y}正相關,y與\stackrel{∧}{z}正相關 | ||
C. | x和\stackrel{∧}{y}正相關,y與\stackrel{∧}{z}負相關 | D. | x和\stackrel{∧}{y}負相關,y與\stackrel{∧}{z}正相關 |
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廣告費用x(萬元) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售轎車y(臺數(shù)) | 3 | 4 | 6 | 10 | 12 |
A. | 17 | B. | 18 | C. | 19 | D. | 20 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 先向左平移\frac{2π}{3}單位,再將圖象上各點的橫坐標縮短至原來的\frac{1}{2} | |
B. | 先向右平移\frac{2π}{3}單位,再將圖象上各點的橫坐標縮短至原來的\frac{1}{2} | |
C. | 先將圖象上各點的橫坐標縮短至原來的\frac{1}{2},再將圖象向左平移\frac{π}{3}單位 | |
D. | 先將圖象上各點橫坐標擴大為原來的2倍,再將圖象向右平移\frac{π}{3}單位 |
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