Question

11．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）通過平移求出g（x）的解析式，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
化簡可得：f（x）=2cosxsinxcos$\frac{π}{6}$+2cos²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}+1$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
故函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）x+$\frac{π}{6}$]+$\frac{3}{2}$=sin（2x$-\frac{π}{2}$）$+\frac{3}{2}$=g（x）
∴$g（x）=-cos2x+\frac{3}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$-\frac{π}{3}≤2x≤\frac{2π}{3}$．
∴-$\frac{1}{2}$≤cos2x≤1．
∴函數(shù)的值域為$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．