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11.已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+\frac{π}{6})+1,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)將f(x)的圖象向右平移\frac{π}{3}個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,若x∈[-\frac{π}{6}\frac{π}{3}],求函數(shù)g(x)的值域.

分析 (Ⅰ)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)通過平移求出g(x)的解析式,x∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}]上時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的最大值和最小值,即得到f(x)的值域.

解答 解:函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+\frac{π}{6})+1,x∈R.
化簡可得:f(x)=2cosxsinxcos\frac{π}{6}+2cos2xsin\frac{π}{6}+1
=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}+1
=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π
由f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}
由2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z.
解得:-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ,k∈Z.
故函數(shù)f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{3}{2}的單調(diào)遞增區(qū)間為[-\frac{π}{3}+kπ,\frac{π}{6}+kπ],k∈Z.
(Ⅱ)f(x)的圖象向右平移\frac{π}{3}個(gè)單位得到:sin[2(x-\frac{π}{3})x+\frac{π}{6}]+\frac{3}{2}=sin(2x-\frac{π}{2}+\frac{3}{2}=g(x)
g(x)=-cos2x+\frac{3}{2},
∵x∈[-\frac{π}{6},\frac{π}{3}],
-\frac{π}{3}≤2x≤\frac{2π}{3}
∴-\frac{1}{2}≤cos2x≤1.
∴函數(shù)的值域?yàn)?[{\frac{1}{2},2}]$.

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)若a2=2,a3=x,a4=27,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足:{a_{n+1}}=a_n^p,n∈N+.設(shè)Tn=a1•a2•…•an,若\root{3}{T_n}≤{T_{n+1}}≤T_n^3,n∈N+,求p的取值范圍;
(Ⅲ)若a1,a2,…,ak成公比q的等比數(shù)列,且{a_1}•{a_2}•…•{a_k}={(\frac{3}{2})^{1000}},求正整數(shù)k的最大值,以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1,a2,…,ak的公比q.

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A.x和\stackrel{∧}{y}負(fù)相關(guān),y與\stackrel{∧}{z}負(fù)相關(guān)B.x和\stackrel{∧}{y}正相關(guān),y與\stackrel{∧}{z}正相關(guān)
C.x和\stackrel{∧}{y}正相關(guān),y與\stackrel{∧}{z}負(fù)相關(guān)D.x和\stackrel{∧}{y}負(fù)相關(guān),y與\stackrel{∧}{z}正相關(guān)

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廣告費(fèi)用x(萬元)23456
銷售轎車y(臺(tái)數(shù))3461012
A.17B.18C.19D.20

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(1)若f(x)<0對?x∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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20.已知函數(shù)f(x)=lg(x2+ax+b)的定義域?yàn)锳,g(x)=\sqrt{k{x^2}+4x+k+3}的定義域?yàn)锽.
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(2)若(∁RA)∩B=B,(∁RA)∪B={x|-2≤x≤3},求實(shí)數(shù)a,b的值及實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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1.要得到y(tǒng)=sinx的圖象只需將y=sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{3})的圖象( �。�
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B.先向右平移\frac{2π}{3}單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的\frac{1}{2}
C.先將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短至原來的\frac{1}{2},再將圖象向左平移\frac{π}{3}單位
D.先將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍,再將圖象向右平移\frac{π}{3}單位

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