Question

7．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，
（Ⅰ）求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)x的集合A；
（Ⅱ）是否存在x，y，z∈A，使得x+y+z=1，且$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$=5同時(shí)成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值，而$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，故x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根據(jù)數(shù)軸上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，可得不等式的解集．
（Ⅱ）$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$）≤$\sqrt{\frac{3x+1+3y+1+3z+1}{3}}$=$\sqrt{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題知，|x-1|+|x-2|≤$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當(dāng)且僅當(dāng) （a+b）（a-b）≥0 時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
又由于數(shù)軸上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于2，
故不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
（Ⅱ）$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$）≤$\sqrt{\frac{3x+1+3y+1+3z+1}{3}}$=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{3x+1}$+$\sqrt{3y+1}$+$\sqrt{3z+1}$≤3$\sqrt{2}$≠5，所以不存在這樣的x，y，z滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，考查基本不等式的運(yùn)用，判斷|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，是解題的關(guān)鍵．