Question

6．設f（x）=cosx+（π-x）sinx，x∈[0，2π]，則函數(shù)f（x）所有的零點之和為2π．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由f（x）=cosx+（π-x）sinx=0，
得cosx=（x-π）sinx，
當x=π時，cosπ=0不成立，則x≠π，
當cosx=0時，x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，此時，cosx=（x-π）sinx不成立，
∴cosx≠0，
即$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{1}{x-π}$，
即tanx═$\frac{1}{x-π}$，
分別作出函數(shù)y=tanx和y═$\frac{1}{x-π}$，在x∈[0，2π]上的圖象，
則由圖象知兩個函數(shù)有兩個交點，且關于A（π，0）對稱，
設兩個交點的橫坐標為x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=π，
則x₁+x₂=2π，
即函數(shù)f（x）所有的零點之和為2π，
故答案為：2π

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷和應用，利用函數(shù)與方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．