Question

11．如圖，在圓O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別為M，N．
（1）證明：O，M，E，N四點共圓；
（2）若AB=CD，證明：EO⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由題意可得OM⊥AB，ON⊥CD，可得∠OME+∠ONE=180°，從而得到O，M，E，N四點共圓．
（2）利用條件求得BE=DE，設BD的中點為O₁，則EO₁⊥BD，OO₁⊥BD，證得E，O₁，O三點共線，可得EO⊥BD．

解答 解：（1）∵M為AB的中點，∴OM⊥AB；∵N為CD的中點，∴ON⊥CD，
在四邊形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=180°，∴O，M，E，N四點共圓．
（2）因為AB=CD，所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，所以$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠BDC，所以BE=DE，
連接OB，OD，設BD的中點為O₁，則EO₁⊥BD，OO₁⊥BD，
所以E，O₁，O三點共線，所以EO⊥BD．

點評 本題主要考查與圓有關的比例線段，四點共圓的條件，等腰三角形的性質，屬于中檔題．