Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件利用等比數列和通項公式和等差數列的性質求出首項和公比，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由T_n=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，利用錯位相減法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
設首項為a₁，公比為q，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解得a₁=2，q=2，或a1=32，q=

1

2

，
又{a_n}單調遞增，∴q=2，a₁=2，
∴an=2n．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，①
2T_n=n•2²+（n-1）•2³+…+2•2ⁿ+2ⁿ⁺¹，②
②-①得：Tn=-2n+22+23+…+2n+2n+1
=-2n+

22(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-2n-4．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．