【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F2，離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，試問點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

(1)根據(jù)三角形周長為8，結(jié)合橢圓的定義可知，，利用，即可求得和的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當(dāng)直線斜率斜存在時(shí),聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得和的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得點(diǎn)到直線的距離是否為定值.

（1）由題意知，4a=8，則a=2，

由橢圓離心率，則b2=3．

∴橢圓C的方程；

（2）由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x0，x0），B（x0，-x0）．

又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，

∴，

∴點(diǎn)O到直線AB的距離，

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

聯(lián)立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．

由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，

由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，

整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，

∴ ．

∴7b2=12（k2+1），滿足△＞0．

∴點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

綜上可知：點(diǎn)O到直線AB的距離d=為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 （r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z= 的最小值為（ ）
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)A，B分別為雙曲線 (a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓 =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率為e．橢圓上一點(diǎn)C滿足：C在x軸上方，且CF1⊥x軸．

（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）連結(jié)CF2并延長交橢圓于另一點(diǎn)D若 ≤e≤ ，求 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知 ， ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.函數(shù)y=f（x）?g（x）的周期為2
B.函數(shù)y=f（x）?g（x）的最大值為1
C.將f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位后得到g（x）的圖象
D.將f（x）的圖象向右平移 個(gè)單位后得到g（x）的圖象

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列滿足，，．

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

設(shè)，求的前n項(xiàng)和為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，．

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象過的定點(diǎn)；

當(dāng)，，且有最小值2時(shí)，求a的值；

當(dāng)，時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，

.

（1）求證：；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（P，Q）與（Q，P）看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）= ，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（ ）
A.3對(duì)
B.2對(duì)
C.1對(duì)
D.0對(duì)

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