Question

11．定義上凸函數如下：設f（x）為區(qū)間I上的函數，若對任意的x₁，x₂∈I總有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，則稱f（x）為I上的上凸函數，某同學查閱資料后發(fā)現了上凸函數的如下判定定理和性質定理：
判定定理：f（x）為上凸函數的充要條件是f″（x）≤0，x∈I，其中f″（x）為f（x）的導函數f′（x）的導數．
性質定理：若函數f（x）為區(qū)間I上的上凸函數，則對I內任意的x₁，x₂，…，x_n，都有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）．
請問：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 構造函數f（x）=sinx，x∈（0，π），求導，則f″（x）≤-sinx，由正弦函數的圖象可知f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數，根據凸函數的性質sinA+sinB+sinC≤3sin（$\frac{A+B+C}{3}$），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．

解答 解：設f（x）=sinx，x∈（0，π），則f′（x）=cosx，則f″（x）≤-sinx，x∈（0，π），
由當x∈（0，π），0＜sin≤1，則f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數，
由凸函數的性質可知：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）．
則sinA+sinB+sinC≤3sin（$\frac{A+B+C}{3}$）=3×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查凸函數的性質，考查正弦函數的性質，考查轉化思想，屬于中檔題．